Næste: 1.2 At vise at Op: 1.1 Generelt om primtal Foregående: 1.1.1 Uendelig mange primtal

1.1.2 Faktorisering af sammensatte tal

En anden vigtig egenskab ved primtallene er, at de er alle sammensatte tals byggeklodser, forstået på den måde, at ethvert heltal kan skrives som et produkt beståede udelukkende af primtal:

SÆTNING 1.4   Ethvert tal $a>1$ kan skrives som et produkt af primtal. Skrives $a$ som et sådant produkt, siger vi at $a$ er opløst i dets primfaktorer.

Sætning 1.2 fortæller os at vi kan skrive $a$ som $p_1a_1$ hvor $p_1$ er et primtal, og $a_1$ er et heltal som er mindre end $a$. Hvis $a_1=1$ er $a=p_1$, altså et primtal. Vi er så færdige.

Hvis $a_1 > 1$, så kan vi skrive $a_1$ som $p_2a_2$ hvor $p_2$ er et primtal. $p_2$ vil så også være en primfaktor i $a$, da $a=p_1p_2a_2$. Hvis nu $a_2=1$, er vi færdige, ellers fortsætter vi på samme måde ved at opløse $a_2$ i $p_3a_3$.

Vi fortsætter indtil $a_n=1$, hvilket vil ske på et tidspunkt, da vi har en aftagende følge af positive hele tal:

$$a > a_1 > a_2 > \cdots > a_{n-1} > a_n = 1$$ (1.2)

Der kan højst være $a$ tal i følgen, da de alle er mindre end $a$ og positive.

Efter at have fundet $n$ primtal, har vi fået opløst $a$ i dets primfaktorer: $a=p_1p_2p_3\cdots p_n$, hvilket var det vi skulle. $\blacksquare$

• Næste: 1.2 At vise at
• Op: 1.1 Generelt om primtal
• Foregående: 1.1.1 Uendelig mange primtal