Næste: 1.1.2 Faktorisering af sammensatte Op: 1.1 Generelt om primtal Foregående: 1.1 Generelt om primtal

1.1.1 Uendelig mange primtal

Vi vil straks gå videre og vise den fundamentale sætning 1.3, som er taget fra [8, s. 14]:

SÆTNING 1.3 (Euclid)   Der findes uendelig mange primtal.

Vi vil vise at vi altid kan finde endnu et primtal. Hvis vi går ud fra, at der er et endeligt antal primtal, $n$, må vi kunne skrive dem op på en liste: $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n$. Ud fra denne liste, kan vi lave tallet

$$T = p_1 p_2 p_3 \cdots p_n+1$$ (1.1)

Nu har $T$ ingen ægte divisorer blandt de allerede kendte primtal, da der ved division med et af $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n$ altid vil fremkomme en rest på 1.

Den mindste divisor i $T$ som er større end 1, vil så ifølge sætning 1.2 være et primtal, som vi ikke havde fundet endnu. $\blacksquare$

Med hensyn til Mersenne primtal, har man endnu ikke kunnet give noget bevis for, at der også er uendelig mange af dem[14, s. 80]. Man kan dog heller ikke give nogen god grund til, at det ikke skulle være tilfældet.

• Næste: 1.1.2 Faktorisering af sammensatte
• Op: 1.1 Generelt om primtal
• Foregående: 1.1 Generelt om primtal