next up previous contents
Næste: D. Hurtig division Op: C. Grupper Foregående: C.3 Den kommutative lov

C.4 Neutralt og inverst element

Når man snakker om et neutralt element, se definition 3.5, kan man vise at

SÆTNING C.6   Der er højst ét neutralt element i en algebraisk struktur.

Dette bevis kommer fra[13, s. 140]:

Hvis både $ e$ og $ f$ er neutrale elementer, så gælder der at

$\displaystyle f = e*f = f*e = e \Leftrightarrow f = e$ (C.10)

Derved har vi vist, at der højst findes ét unikt neutralt element i en algebraisk struktur. $ \blacksquare$

Det viser sig, at der ligesom ved det neutrale element, højst findes ét inverst element, se definition 3.6, til et givent $ a$:

SÆTNING C.7   Der findes højst ét inverst element til $ a$ som opfylder ligningssystemet

$\displaystyle x*a=e,\qquad a*x=e$ (C.11)

Som i beviset af det unikke neutrale element, vil vi vise at to løsninger til ligningssystemet, i virkeligheden er den samme.

Hvis der finde to løsninger, $ a_1$ og $ a_2$, må der gælde følgende om dem:

$\displaystyle a_1 = a_1 * e = a_1 * (a*a_2) = a_1 *a * a_2 = (a_1*a)*a_2 = e*a_2 = a_2$ (C.12)

Vi har her kun brugt den associative lov,C.1 som giver os mulighed for frit at hæve og sætte parenteser. Det viste sig, at de to løsninger var ens. $ \blacksquare$



Fodnoter

... lov,C.1
Vi arbejder i en semigruppe, hvor kompositionen per definition er associativ.

next up previous contents
Copyright © 2001, Martin Geisler.