Næste: D. Hurtig division Op: C. Grupper Foregående: C.3 Den kommutative lov

C.4 Neutralt og inverst element

Når man snakker om et neutralt element, se definition 3.5, kan man vise at

SÆTNING C.6   Der er højst ét neutralt element i en algebraisk struktur.

Dette bevis kommer fra[13, s. 140]:

Hvis både $e$ og $f$ er neutrale elementer, så gælder der at

$$f = e*f = f*e = e \Leftrightarrow f = e$$ (C.10)

Derved har vi vist, at der højst findes ét unikt neutralt element i en algebraisk struktur. $\blacksquare$

Det viser sig, at der ligesom ved det neutrale element, højst findes ét inverst element, se definition 3.6, til et givent $a$:

SÆTNING C.7   Der findes højst ét inverst element til $a$ som opfylder ligningssystemet

$$x*a=e,\qquad a*x=e$$ (C.11)

Som i beviset af det unikke neutrale element, vil vi vise at to løsninger til ligningssystemet, i virkeligheden er den samme.

Hvis der finde to løsninger, $a_1$ og $a_2$, må der gælde følgende om dem:

$$a_1 = a_1 * e = a_1 * (a*a_2) = a_1 *a * a_2 = (a_1*a)*a_2 = e*a_2 = a_2$$ (C.12)

Vi har her kun brugt den associative lov,^C.1 som giver os mulighed for frit at hæve og sætte parenteser. Det viste sig, at de to løsninger var ens. $\blacksquare$

Fodnoter

... lov,^C.1

Vi arbejder i en semigruppe, hvor kompositionen per definition er associativ.

• Næste: D. Hurtig division
• Op: C. Grupper
• Foregående: C.3 Den kommutative lov