Næste: C.4 Neutralt og inverst Op: C. Grupper Foregående: C.2 Den associative lov

C.3 Den kommutative lov

Når både den associative og den kommutative lov (se definition 3.4) er opfyldt, gælder der følgende sætning:

SÆTNING C.5   Hvis $a_n, a_2, a_3, \dotsc , a_{n-1}, a_n$ er elementer i en kommutativ semigruppe $(M,*)$, ændres værdien af udtrykket

$$a_n * a_2 * a_3 * \dots * a_{n-1} * a_n$$ (C.9)

ikke, hvis man ændrer leddenes rækkefølge.

Da kompositionen er associativ kan vi sætte parenteser hvor vi vil. Vi sætter så parenteser rundt om et led $a_p$ og $a_{p+1}$. Da den kommutative lov også gælder, kan vi bytte disse to led. Når vi så hæver parenteserne igen, har vi byttet rundt på leddene.

Ved gentagne gange at bytte rundt på leddene, kan vi altså ændre rækkefølgen af leddene til en hvilken som helst rækkefølge vi er interesseret i, uden at ændre på værdien af udtrykket. $\blacksquare$