Næste: C.3 Den kommutative lov Op: C. Grupper Foregående: C.1 Regneregler

C.2 Den associative lov

Den associative lov, se definition 3.3, siger, at vi kan sætte og hæve parenteser i et udtryk med 3 led, uden at værdien af udtrykket ændrer sig. Følgende sætning, som er taget fra [13, s. 137], udtaler sig om tilfældet hvor der er $n$ led

SÆTNING C.3   Hvis $a_1, a_2, a_3, \dotsc a_n$ alle er elementer i semigruppen $(M,*)$, ændres udtrykket

$$a_1 * a_2 * a_3 \dots a_n$$ (C.4)

sig ikke ved at sætte parenteser omkring nogle af leddene.

Hvis vi skriver udtrykket med alle de underforståede parenteser ser vi

$$\biggl(\Bigl(\dots\bigl((a_1 * a_2) * a_3\bigr) * \dots * a_{n-2} \Bigr)* a_{n-1} \biggr) * a_n$$ (C.5)

at vi kan flytte den yderste parentes hen omkring $a_{n-1}$ og $a_n$, ved at gøre brug af den associative lov.

Vi kan sætte parenteser omkring to vilkårlige naboled $a_p$ og $a_{p+1}$ på denne måde, da der altid vil være en underforstået parentes, som slutter mellem $a_p$ og $a_{p+1}$. Denne parentes kan fjernes, samtidig med at vi sætter en parentes omkring $a_p$ og $a_{p+1}$. $\blacksquare$

Nu da vi har vist at vi kan sætte parenteser som vi vil i forbindelse med en associativ komposition, kan vi hurtigt bevise de regler, som ligger til grund for regning med potenser[13, s. 137]:

SÆTNING C.4   Har vi en semigruppe $(M,*)$ med et element $a$, og to tal $m, n \in \mathbb{Z}$, gælder der at

$$a^{m*} * a^{n*} = a^{(n+m)*} \qquad \left(a^{m*}\right)^{n*} = a^{(nm)*}$$ (C.6)

Beviset er trivielt, da vi bare skal flytte parenteser. Vi skriver først $a^{m*} * a^{n*} = a^{(n+m)*}$ ud med de underforståede parenteser:

$$\underbrace{\biggl(\Bigl(\dots\bigl((a * a) * a\bigr) * \dots * a... ...Bigl(\dots\bigl((a * a) * a\bigr) * \dots * a \Bigr)}_{\text{ialt $m$ $a$'er}}$$ (C.7)

Hæver vi alle parenteserne, får vi som ønsket

$$\underbrace{a*a*a*\dots * a *a}_{\text{i alt $n+n$ $a$'er}} = a^{(n+m)*}$$ (C.8)

På samme måde kan det nemt vises at $\left(a^{m*}\right)^{n*} = a^{(nm)*}$. $\blacksquare$

Sætning C.4 kan direkte overføres til vores normale potensregler, da $(R,\times)$ udgør en semigruppe idet multiplikation er associativ: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.

• Næste: C.3 Den kommutative lov
• Op: C. Grupper
• Foregående: C.1 Regneregler