next up previous contents
Næste: C. Grupper Op: Mersenne primtal Foregående: A. Tabel over


B. Kongruens

Her er beviser til sætningerne 2.2 til 2.8.

Det er klart at 1 altid vil gå op i differencen mellem to heltal. Det er også klart at tallet $ a$ går også altid op i sig selv med 0 til rest. $ \blacksquare$

Hvis $ a \equiv b \pmod{m}$, gælder der at $ \frac{a-b}{m}$ har en heltallig løsning. Men så vil $ \frac{d(a-b)}{m}$ også have det, hvormed sætningen er bevist. $ \blacksquare$

Har vi at $ a \equiv b \pmod{m}$ og at $ c \equiv d \pmod{m}$ betyder det at $ a = jm+b$ og at $ c = km+d$. Derfor har vi også at $ a+c =
m(j+k)+b+d$. Derfor er $ a+c \equiv b+d \pmod{m}$ da $ m$ går op i $ m(j+k)$. $ \blacksquare$

Vi har at $ a \equiv b \pmod{m}$ og $ c \equiv d \pmod{m}$. Bruger vi så sætning 2.3 får vi at $ ac \equiv bc \pmod{m}$ og $ bc \equiv bd \pmod{m}$ Sætter vi det sammen får vi at $ ac \equiv bc \equiv bd \pmod{m} \Leftrightarrow ac \equiv bd
\pmod{m}$. $ \blacksquare$

$ a \equiv b \pmod{m}$ betyder at $ a = jm+b$ hvor $ j \in \mathbb{Z}$. Ligeledes har vi at $ b \equiv c \pmod{m} \Leftrightarrow b = km+c$, hvor $ k \in \mathbb{Z}$.

Vi kan derfor lave følgende omskrivning $ a \equiv c \pmod{m}
\Leftrightarrow jm+b \equiv b-km \pmod{m} \Leftrightarrow m(j+k)+b
\equiv b \pmod{m}$. Sidste kongruens er sand, da $ m$ selvfølgelig går op i $ m(j+k)+b$ til sidst med $ b$ som rest. $ \blacksquare$

Hvis $ a \equiv b \pmod{m}$ har vi at $ a = jm+b \Leftrightarrow a+km =
m(j+k)+b$. Det giver os at $ a+km \equiv b \pmod{m}$. Sætningen gælder selvfølgelig også hvis vi trækker et antal $ m$ fra $ a$. $ \blacksquare$

For at $ a \equiv b \pmod{m}$ skal være sand, skal vi som bekendt kunne finde en heltallig løsning til ligningen $ \frac{a-b}{m} = n$. Hvis vi forlænger brøken med $ c$ får vi at $ \frac{ac-bc}{mc} = n$, hvilket også er sandt. $ \blacksquare$


next up previous contents
Copyright © 2001, Martin Geisler.