Næste: 4. Lucas-Lehmer sætningen
Op: 3.2 Grupper
Foregående: 3.2 Grupper
Både de enkelte elementer i en gruppe og gruppen selv kan have det vi
betegner med orden. Vi definerer et elements orden således:
DEFINITION 3.8
I en endelig gruppe med kompositionen
er et elements orden
det
mindste tal større end 0 som opfylder at:
|
(3.7) |
hvor
er det neutrale element i gruppen. Vi skriver det også som
.
Vi vil nu bevise at ethvert element i en endelig gruppe har en orden
-
- Vi skal vise at man før eller siden vil komme til det neutrale
element:
|
(3.8) |
Vi går ud fra at det ikke er muligt. For at undgå at komme til det
neutrale element, må man altså kunne cykle i ring blandt gruppens
elementer. Da gruppen indeholder et endeligt antal elementer, vil man
før eller siden komme tilbage til et element, man har været ved før.
Dette element må endvidere være det oprindelige element . Hvis
ikke, skulle der være to forskellige løsninger til ligningen
, hvor er det første element, vi har været ved
før.
Vi har altså at
. Det er lovligt at tilføje
på hver side af lighedstegnet, så det gør vi. Det giver os
at
. Vi ser nu
at vi alligevel når til det neutrale element, nemlig efter gange.
En gruppe har også en orden:
D
EFINITION 3.9
En gruppes orden
er lig antallet af elementer i
.
SÆTNING 3.10
Hvis
er en endelig gruppe, er et elements orden højst lig gruppens
orden:
|
(3.9) |
Beviset kommer fra [11, s. 173]:
-
- En gruppe med ordnen og kompositionen består af
elementer. Følgende mængde
hvor består af elementer, så mindst to af dem må være
ens. Vi har så at
hvor
. Det giver
os at
, hvor
.
Ifølge definitionen ef et elements orden (sætning 3.8)
må
nu være mindre end eller ligmed , som selv er mindre
end eller lig med :
. Det giver os at
.
SÆTNING 3.11
Vi har en endelig gruppe
hvor
. Der gælder nu at
|
(3.10) |
Dette bevis stammer også fra [11, s. 173]:
-
- Vi sætter
, og går ud fra at
, hvor der gælder
at
hvor
og
.3.2 Hvis går altså ikke om i ,
der er til rest. Vi får så at:
|
(3.11) |
Ved næstsidste omskrivning brugte vi definitionen på et elements orden, som
siger at
.
Hvis nu har vi fundet en mindre eksponent end som giver os
det neutrale element, da . Dette strider imod definitionen af et
elements orden, som jo siger at er den mindste eksponent for
hvilken det gælder at
. Derfor kan kun være 0, hvilket
giver os at
|
(3.12) |
hvilket fortæller os at går op i .
Følgende sætning bruges i beviset af Lucas-Lehmer sætningen.
SÆTNING 3.12
Lad
være en mængde med en binær og associativ operator, som
indeholder et neutralt element. Mængden
af alle de invertible
elementer i
udgør så en gruppe.
-
- Det neutrale element i er invertibelt, så er ikke en tom
mængde. Det er også klart at alle elementer i er invertible, da
det netop er en betingelse for at være med i .
Vi mangler så blot at vise,
. Vi
tager to elementer fra , og , som er invertible, med de
inverse elementer og . Det inverse element til
er så
, hvilket vi kan vise ved brug af den associative
lov:
|
(3.13) |
Dette inverse element findes, da både og tilhører
. Dermed opfylder kravene for at være en gruppe.
Fodnoter
- ....3.2
- I [11] har de at
. De ender så med at konstatere, at vi finder en eksponent
som er mindre end . De skriver at det strider imod definitionen af
's orden, men det kan jeg ikke forstå, da den kun fortæller os at
og ikke at .
Copyright © 2001, Martin Geisler.