Næste: 4. Lucas-Lehmer sætningen Op: 3.2 Grupper Foregående: 3.2 Grupper

3.2.1 Orden på sagerne

Både de enkelte elementer i en gruppe og gruppen selv kan have det vi betegner med orden. Vi definerer et elements orden således:

DEFINITION 3.8   I en endelig gruppe med kompositionen $*$ er et elements orden $n$ det mindste tal større end 0 som opfylder at:

$$a^{n*} = e$$ (3.7)

hvor $e$ er det neutrale element i gruppen. Vi skriver det også som $n = \operatorname{ord}a$.

Vi vil nu bevise at ethvert element i en endelig gruppe har en orden

Vi skal vise at man før eller siden vil komme til det neutrale element:

$$\exists n \in \mathbb{Z}:\quad a^{n*} = e$$ (3.8)

Vi går ud fra at det ikke er muligt. For at undgå at komme til det neutrale element, må man altså kunne cykle i ring blandt gruppens elementer. Da gruppen indeholder et endeligt antal elementer, vil man før eller siden komme tilbage til et element, man har været ved før.

Dette element må endvidere være det oprindelige element $a$. Hvis ikke, skulle der være to forskellige løsninger til ligningen $a^{(m-1)*}$, hvor $a^{m*}$ er det første element, vi har været ved før.

Vi har altså at $a = a^{m*} = a^{2m*}$. Det er lovligt at tilføje $a^{-1*}$ på hver side af lighedstegnet, så det gør vi. Det giver os at $a*a^{-1} = a^{(m-1)*} \Leftrightarrow e = a^{(m-1)*}$. Vi ser nu at vi alligevel når til det neutrale element, nemlig efter $m-1$ gange. $\blacksquare$

En gruppe har også en orden:

DEFINITION 3.9   En gruppes orden $n$ er lig antallet af elementer i $G$.

SÆTNING 3.10   Hvis $G$ er en endelig gruppe, er et elements orden højst lig gruppens orden:

$$\operatorname{ord}x \le \operatorname{ord}G$$ (3.9)

Beviset kommer fra [11, s. 173]:

En gruppe $G$ med ordnen $n$ og kompositionen $*$ består af $n$ elementer. Følgende mængde $\{e, x, x^{2*}, x^{3*}, \dots , x^{n*}\}$ hvor $x \in G$ består af $n+1$ elementer, så mindst to af dem må være ens. Vi har så at $x^{u*} = x^{v*}$ hvor $0\le u < v \le n$. Det giver os at $x^{(v-u)*} = x^{0*} = e$, hvor $1 \le v-u \le n$.

Ifølge definitionen ef et elements orden (sætning 3.8) må $\operatorname{ord}x$ nu være mindre end eller ligmed $v-u$, som selv er mindre end eller lig med $n$: $\operatorname{ord}x \le v-u \le n$. Det giver os at $\operatorname{ord}x \le n$. $\blacksquare$

SÆTNING 3.11   Vi har en endelig gruppe $G$ hvor $a \in G$. Der gælder nu at

$$a^r = e \Rightarrow \operatorname{ord}a \equiv 0 \pmod{r}$$ (3.10)

Dette bevis stammer også fra [11, s. 173]:

Vi sætter $s=\operatorname{ord}x$, og går ud fra at $x^{r*} = e$, hvor der gælder at $r \equiv b \pmod{s} \Leftrightarrow r = as+b$ hvor $a \in \mathbb{Z}$ og $0\le b < s$.^3.2 Hvis $b>0$ går $r$ altså ikke om i $s$, der er $b$ til rest. Vi får så at:

$$e = x^{r*} = x^{(as+b)*} = \left(x^{s*}\right)^{a*}*x^{b*} = e^{a*}* x^{b*} = x^{b*}$$ (3.11)

Ved næstsidste omskrivning brugte vi definitionen på et elements orden, som siger at $x^{s*} = e$.

Hvis nu $b>0$ har vi fundet en mindre eksponent end $s$ som giver os det neutrale element, da $b<s$. Dette strider imod definitionen af et elements orden, som jo siger at $s>0$ er den mindste eksponent for hvilken det gælder at $a^{s*} = e$. Derfor kan $b$ kun være 0, hvilket giver os at

$$r \equiv 0 \pmod{s}$$ (3.12)

hvilket fortæller os at $r$ går op i $s$. $\blacksquare$

Følgende sætning bruges i beviset af Lucas-Lehmer sætningen.

SÆTNING 3.12   Lad $X$ være en mængde med en binær og associativ operator, som indeholder et neutralt element. Mængden $X^*$ af alle de invertible elementer i $X$ udgør så en gruppe.

Det neutrale element i $X$ er invertibelt, så $X^*$ er ikke en tom mængde. Det er også klart at alle elementer i $X^*$ er invertible, da det netop er en betingelse for at være med i $X^*$.

Vi mangler så blot at vise, $\forall a, b \in X^*: a*b \in X^*$. Vi tager to elementer fra $X$, $a$ og $b$, som er invertible, med de inverse elementer $a^{-1}$ og $b^{-1}$. Det inverse element til $a*b$ er så $b^{-1}*a^{-1}$, hvilket vi kan vise ved brug af den associative lov:

$$(a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) = a*(b*b^{-1})*a^{-1} = a*e*a^{-1} = a*a^{-1} = e,$$ (3.13)

Dette inverse element findes, da både $a^{-1}$ og $b^{-1}$ tilhører $X^*$. Dermed opfylder $X^*$ kravene for at være en gruppe. $\blacksquare$

Fodnoter

....^3.2

I [11] har de at $0 \le b < r$. De ender så med at konstatere, at vi finder en eksponent $b$ som er mindre end $r$. De skriver at det strider imod definitionen af $x$'s orden, men det kan jeg ikke forstå, da den kun fortæller os at $b \ge s$ og ikke at $b >r$.

• Næste: 4. Lucas-Lehmer sætningen
• Op: 3.2 Grupper
• Foregående: 3.2 Grupper