Næste: 3.2.1 Orden på sagerne Op: 3. Grupper Foregående: 3.1 Algebraisk struktur

3.2 Grupper

Nu da vi har defineret en komposition, en algebraisk struktur, en semigruppe, et neutralt element og et inverst element, er vi endelig klart til at definere hvad vi forstår ved en gruppe (se [13, s. 148], [12, s. 27] eller [1, s. 186]):

DEFINITION 3.7   En gruppe er en algebraisk struktur $G$ med en komposition $*$, som opfylder følgende:

• $*$ opererer på to elementer og der gælder at $a,b\in G \Rightarrow a*b\in G$,
• $*$ er associativ,
• Der findes et neutralt element i $G$,
• Alle elementer i $G$ har et inverst element.

Hvis kompositionen $*$ også er kommutativ, siges gruppen at være kommutativ. En kommutativ gruppe kaldes også en abelsk gruppe.^3.1

Vi ser nu hvorfor man kalder en associativ algebraisk struktur for en semigruppe, idet en semigruppe kun mangler at opfylde de to sidste punkter.

Fodnoter

... gruppe.^3.1

Opkaldt efter den norske matematiker N. H. Abel, der bl.a. beskæftigede sig med kommutative grupper.