Næste: 3. Grupper Op: 2. Kongruens og modulusregning Foregående: 2.1 Kongruens

2.2 Restklasser

Har vi en ligning som $a \equiv b \pmod{m} \Leftrightarrow a = nm+b$ får vi en hel række løsninger, da $n \in \mathbb{Z}$. Det at vi får en hel klasse af løsninger, fører os over i begrebet restklasser:

DEFINITION 2.10   Tal som giver samme rest $r$ ved division med et tal $t$, siges at tilhøre samme restklasse. Vi får $t$ klasser, som kaldes restklasserne modulus $t$.

Ud fra definitionen og det vi ved om kongruens, kan vi skrive at $a$ og $b$ ligger i samme restklasse modulus $t$ sådan her:

$$\begin{split}a & \equiv k \pmod{t} \Leftrightarrow a = n_1t+k b & \equiv k \pmod{t} \Leftrightarrow b = n_2t+k \end{split}$$ (2.3)

Det medfører faktisk at $a \equiv b$ og at $b \equiv a \pmod{t}$ da:

$$\begin{split}a-b = (n_1-n_2)t \Leftrightarrow a \equiv b \pmo... ...-a = (n_2-n_1)t \Leftrightarrow b \equiv a \pmod{t} \end{split}$$ (2.4)

hvor både $n_1-n_2$ og $n_2-n_1$ er heltal.