next up previous contents
Næste: 1.3.3 Mersenne primtals betydning Op: 1.3 Mersenne primtal Foregående: 1.3.1 Den historisk udvikling

1.3.2 Sætninger om Mersenne primtal

Der gælder følgende sætning om $ M_p$:

SÆTNING 1.6   Hvis $ M_p=2^p-1$ er et primtal, er $ p$ selv et primtal.

Det beviser vi nu, beviset er fra [4].

Vi har $ r, s \in \mathbb{Z}_+$. Vi kan så skrive $ x^{rs}-1$ som

$\displaystyle x^{rs} -1 = \left(x^s-1\right)\left(x^{s(r-1)} + x^{s(r-2)} + \cdots + x^{2s} + x^{s} + 1\right)$ (1.8)

Vi kan gøre prøve ved at gange $ \left(x^s-1\right)$ ind i parentesen. Resultatet bliver så:

\begin{displaymath}\begin{split}x^{sr} & + x^{s(r-1)} + x^{s(r-2)} + \cdots + x^...
...} - \cdots - x^{3s} - x^{2s} - x^{s} - 1 = x^{sr}-1 \end{split}\end{displaymath} (1.9)

Vi har nu vist at $ 2^p-1$ ikke kan være et primtal, hvis $ p$ ikke selv er et primtal. Vi har nemlig vist at tallet $ 2^s-1$ går op i $ 2^p-1$, hvis $ p$ kan skrives som $ p=rs$. $ \blacksquare$

Sætning 1.6 fortæller os, at vi nemt kan finde faktorer til $ 2^p-1$, når $ p$ ikke er et primtal. F.eks. må $ 2^{100}-1$ være en faktor i $ 2^{1000}-1$, ligesom $ 2^{10}-1$ må være det.

Hvis $ M_p$ ikke er et primtal, kan vi faktisk udtale os om formen af divisorerne:

SÆTNING 1.7   Hvis $ p$ og $ q$ er ulige primtal, og $ q$ går op i $ M_p$, så gælder der at

$\displaystyle p \equiv 1 \pmod{q}$   og$\displaystyle \quad p \equiv \pm 1 \pmod{8}$ (1.10)

Det er det samme som at sige at en faktor $ q$ skal have formen $ q=2kp+1$, hvor $ k$ er et heltal.

Jeg giver ikke noget bevis for sætning 1.7, i stedet henvises til [6].


next up previous contents
Copyright © 2001, Martin Geisler.