Næste: 1.3.3 Mersenne primtals betydning Op: 1.3 Mersenne primtal Foregående: 1.3.1 Den historisk udvikling

1.3.2 Sætninger om Mersenne primtal

Der gælder følgende sætning om $M_p$:

SÆTNING 1.6   Hvis $M_p=2^p-1$ er et primtal, er $p$ selv et primtal.

Det beviser vi nu, beviset er fra [4].

Vi har $r, s \in \mathbb{Z}_+$. Vi kan så skrive $x^{rs}-1$ som

$$x^{rs} -1 = \left(x^s-1\right)\left(x^{s(r-1)} + x^{s(r-2)} + \cdots + x^{2s} + x^{s} + 1\right)$$ (1.8)

Vi kan gøre prøve ved at gange $\left(x^s-1\right)$ ind i parentesen. Resultatet bliver så:

$$\begin{split}x^{sr} & + x^{s(r-1)} + x^{s(r-2)} + \cdots + x^... ...} - \cdots - x^{3s} - x^{2s} - x^{s} - 1 = x^{sr}-1 \end{split}$$ (1.9)

Vi har nu vist at $2^p-1$ ikke kan være et primtal, hvis $p$ ikke selv er et primtal. Vi har nemlig vist at tallet $2^s-1$ går op i $2^p-1$, hvis $p$ kan skrives som $p=rs$. $\blacksquare$

Sætning 1.6 fortæller os, at vi nemt kan finde faktorer til $2^p-1$, når $p$ ikke er et primtal. F.eks. må $2^{100}-1$ være en faktor i $2^{1000}-1$, ligesom $2^{10}-1$ må være det.

Hvis $M_p$ ikke er et primtal, kan vi faktisk udtale os om formen af divisorerne:

SÆTNING 1.7   Hvis $p$ og $q$ er ulige primtal, og $q$ går op i $M_p$, så gælder der at

$$p \equiv 1 \pmod{q} \quad p \equiv \pm 1 \pmod{8}$$ (1.10)

Det er det samme som at sige at en faktor $q$ skal have formen $q=2kp+1$, hvor $k$ er et heltal.

Jeg giver ikke noget bevis for sætning 1.7, i stedet henvises til [6].

• Næste: 1.3.3 Mersenne primtals betydning
• Op: 1.3 Mersenne primtal
• Foregående: 1.3.1 Den historisk udvikling