1.3.1 Den historisk udvikling

$next$ $up$ $previous$ $contents$
Næste: 1.3.2 Sætninger om Mersenne Op: 1.3 Mersenne primtal Foregående: 1.3 Mersenne primtal

1.3.1 Den historisk udvikling

(Se tabel A.1 for en komplet liste med alle kendte Mersenne primtal.)

Det var tidligere en normal misforståelse, at altid ville være et primtal, bare var det. Men i 1536 viste Hudalricus Regius[5], at det ikke var tilfældet, idet $2^{11}-1 = 2047 = 23 \cdot 89$ .

Pietro Cataldi fandt i 1588 ud af, at $M_{17}=131071$ og $M_{19}=524287$ . Men han mente også at $M_{23}=47 \cdot 178481$ , $M_{29}=233 \cdot 1103 \cdot 2089$ og $M_{37}=233 \cdot 616318177$ var primtal.^1.1

Det kendetegner disse første forsøg på et finde store primtal, at man ikke havde ret hver gang. Men det er ikke så underligt, for man skal jo huske at f.eks. $M_{31}=2147483647$ jo har 10 cifre. Det er nogle enorme tal at arbejde med, hvis man ikke har elektroniske hjælpemidler.^1.2

Man fortsatte med at lede efter endnu større primtal, og i 1644 påstod den franske munk Marin Mersenne (1588-1648) i sin bog Cogitata Physica-Mathematica at var et primtal for

$\displaystyle p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127$ og $\displaystyle 257$

(1.7)

I denne liste var det kun tallene fra 31 og op efter, man var i tvivl om. Mersenne indrømmede endda at han ikke havde testet alle disse tal, men da tallene er så store, kunne ingen modbevise ham.

Først over 100 år senere kunne L. Euler (1707-1783) vise at $M_{31}$ virkelig er et primtal, og 230 år senere viste E. Lucas (1842-1891) at $M_{127}$ også er et primtal. $M_{127}$ har 39 cifre og er det største primtal som er fundet ved håndkraft.

Senere fandt man ud af, at Mersenne havde glemt 3 tal, nemlig $M_{61}$ , $M_{89}$ og $M_{107}$ . Han tog også fejl ved $M_{67}= 193707721 \cdot 761838257287$ .^1.3 Men hans navn blev alligevel knyttet til disse primtal.

Fodnoter

... primtal.^1.1: I [5] skriver de først at han tog fejl, da han mente at $M_{31}$ var et primtal. Men dernæst skriver de at Euler viste at $M_{31}$ virkelig var et primtal. Det kan godt være at Cataldi ikke kunne bevise at $M_{31}$ er et primtal, men han tog ikke fejl da han påstod det.
... hjælpemidler.^1.2: De faktoriseringer jeg har lavet her på siden, er alle lavet ved hjælp af min grafregner (en TI-89 fra TEXAS INSTRUMENTS). Det viser hvor langt den teknologiske udvikling er nået, når jeg kan sidde og teste Mersenne tal på en grafregner
....^1.3: Den var en svær nød at knække for min grafregner. Men det er forståeligt, da primfaktorerne er meget store.

$next$ $up$ $previous$ $contents$